搜搜做题作业网已知f(x)＝lnx−ax．
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 06:19:09
已知f(x)＝lnx−
| a |
| x |
由题意得x＞0，所以定义域为（0，+∞），且f′(x)＝
1
x+
a
x2．
（I）显然，当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）在定义域上单调递增；
（II）当a＞0时，由（I），得f（x）在定义域上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值为f（1），即f（1）=
3
2⇒-a=
3
2⇒a=-
3
2（与a＞0矛盾，舍）；
当a=0时，f（x）=lnx，显然在[1，e]上单调递增，最小值为0，不合题意；
当a＜0时，f′（x）=
1
x+
a
x2=
x+a
x2，
若x∈（0，-a），则f′（x）＜0，f（x）单调递减，若x=-a，则f′（x）=0，
若x∈（-a，+∞），则f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当-a≤1即-1≤a＜0时，f（x）min=f（1）=-a=
3
2，⇒a=-
3
2（舍），
当1＜-a＜e即-e＜a＜-1时，f（x）min=f（-a）=1+ln（-a）=
3
2⇒a=-e
1
2（满足题意），
当-a≥e即a≤-e时，f（x）min=f（e）=1-
a
e=
3
2，⇒a=-
e
2（舍），
综上所述，a=-e
1
2．
1
x+
a
x2．
（I）显然，当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）在定义域上单调递增；
（II）当a＞0时，由（I），得f（x）在定义域上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值为f（1），即f（1）=
3
2⇒-a=
3
2⇒a=-
3
2（与a＞0矛盾，舍）；
当a=0时，f（x）=lnx，显然在[1，e]上单调递增，最小值为0，不合题意；
当a＜0时，f′（x）=
1
x+
a
x2=
x+a
x2，
若x∈（0，-a），则f′（x）＜0，f（x）单调递减，若x=-a，则f′（x）=0，
若x∈（-a，+∞），则f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当-a≤1即-1≤a＜0时，f（x）min=f（1）=-a=
3
2，⇒a=-
3
2（舍），
当1＜-a＜e即-e＜a＜-1时，f（x）min=f（-a）=1+ln（-a）=
3
2⇒a=-e
1
2（满足题意），
当-a≥e即a≤-e时，f（x）min=f（e）=1-
a
e=
3
2，⇒a=-
e
2（舍），
综上所述，a=-e
1
2．