高二期末最后一道大题在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>o)的离心率为1/2,
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/17 00:30:18
高二期末最后一道大题
在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>o)的离心率为1/2,点B(0,根号3)是椭圆E的上顶点,F1,F2分别是椭圆E的左右焦点.
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 已知M为椭圆E上的动点,若以点M为圆心,MF1为半经的圆与椭圆E的右准线有公共点,求三角形F1MF2的最大值;
(3) 过点B做直线L1,L2,使得L1垂直L2,设L1,L2分别交椭圆E与点P,Q,连接P,Q,求证:直线PQ必过y轴上的一个顶点.
在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>o)的离心率为1/2,点B(0,根号3)是椭圆E的上顶点,F1,F2分别是椭圆E的左右焦点.
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 已知M为椭圆E上的动点,若以点M为圆心,MF1为半经的圆与椭圆E的右准线有公共点,求三角形F1MF2的最大值;
(3) 过点B做直线L1,L2,使得L1垂直L2,设L1,L2分别交椭圆E与点P,Q,连接P,Q,求证:直线PQ必过y轴上的一个顶点.
分析:
(1).由题可知:
b^2=3,e^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=1/4
可解得:a^2=4
椭圆方程为:x^2/4+y^2/3=1.
(2).设M(xo,yo),椭圆左右准线分别为:
x=-a^2/c=-4;x=a^2/c=4
记点M到左右准线的距离分为d1,d2
由第二定义有
MF1/d1=MF1/[xo+(a^2/c)]=c/a
得到:MF1=exo+a=(1/2)xo+2
而d2=(a^2/c)-xo=4-xo
要使以MF1为半径的圆与右准线有公共点只需:MF1>=d2
可得:(1/2)xo+2>=4-xo,(其中:-2
(1).由题可知:
b^2=3,e^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=1/4
可解得:a^2=4
椭圆方程为:x^2/4+y^2/3=1.
(2).设M(xo,yo),椭圆左右准线分别为:
x=-a^2/c=-4;x=a^2/c=4
记点M到左右准线的距离分为d1,d2
由第二定义有
MF1/d1=MF1/[xo+(a^2/c)]=c/a
得到:MF1=exo+a=(1/2)xo+2
而d2=(a^2/c)-xo=4-xo
要使以MF1为半径的圆与右准线有公共点只需:MF1>=d2
可得:(1/2)xo+2>=4-xo,(其中:-2
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