搜搜做题作业网一道初中平面几何证明题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/26 01:20:32
一道初中平面几何证明题
设P,Q,A,B为任意四点,若PA^2-PB^2=QA^2=QB^2,则PB⊥AB
设P,Q,A,B为任意四点,若PA^2-PB^2=QA^2=QB^2,则PB⊥AB
连接AB,作PH⊥AB于H,QG⊥AB于G
则PA²=AH²+PH²,PB²=BH²+PH²
QA²=AG²+QG²,QB²=BG²+QG²
∴PA²-PB²=AH²-BH²=(AH-BH)(AH+BH)=AB(AH-BH)
QA²-QB²=AG²-BG²=(AG-BG)(AG+BG)=AB(AG-BG)
∴AH-BH=AG-BG,即AH-AG=BH-BG
若AH>AG,则BH0>BH-BG,矛盾
若AHBG,∴AH-AG
则PA²=AH²+PH²,PB²=BH²+PH²
QA²=AG²+QG²,QB²=BG²+QG²
∴PA²-PB²=AH²-BH²=(AH-BH)(AH+BH)=AB(AH-BH)
QA²-QB²=AG²-BG²=(AG-BG)(AG+BG)=AB(AG-BG)
∴AH-BH=AG-BG,即AH-AG=BH-BG
若AH>AG,则BH0>BH-BG,矛盾
若AHBG,∴AH-AG