已知实数X,Y满足2的X+2次方+4的Y次方=2的X+2Y+1次方,则2的X次方+4的Y次方的最小值是多少?如何解.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/22 11:24:35
已知实数X,Y满足2的X+2次方+4的Y次方=2的X+2Y+1次方,则2的X次方+4的Y次方的最小值是多少?如何解.
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2^(x+2)+4^y=2^(x+2y+1)得4*2^x+4^y=2*2^x*4^y,于是有
4^y=4*2^x/(2*2^x-1)=2+1/(2^x-1/2)>0
得2^x-1/2>0或2^x-1/2-1.后者不可能.于是x>-1.
令t=2^x+4^y,则4^y=t-2^x,于是有
4*2^x+t-2^x=2*2^x*(t-2^x)得
t=[3*2^x+2*(2^x)^2]/(2*2^x-1)
令2^x=m>2^(-1)=1/2,则有
t=(3m+2m^2)/(2m-1)
=m+2+1/(m-1/2)=(m-1/2)+1/(m-1/2)+5/2
因m>1/2,故m-1/2>0,故
t=2^x+4^y=m+2+1/(m-1/2)=(m-1/2)+1/(m-1/2)+5/2≥2√[(m-1/2)*1/(m-1/2)+]+5/2=9/2
当且仅当(m-1/2)=1/(m-1/2),即2^x=m=3/2(m=-1/2舍去)时,2^x+4^y取最小值9/2.
此时,x=log(2)(3/2),y=log(4)(3)
4^y=4*2^x/(2*2^x-1)=2+1/(2^x-1/2)>0
得2^x-1/2>0或2^x-1/2-1.后者不可能.于是x>-1.
令t=2^x+4^y,则4^y=t-2^x,于是有
4*2^x+t-2^x=2*2^x*(t-2^x)得
t=[3*2^x+2*(2^x)^2]/(2*2^x-1)
令2^x=m>2^(-1)=1/2,则有
t=(3m+2m^2)/(2m-1)
=m+2+1/(m-1/2)=(m-1/2)+1/(m-1/2)+5/2
因m>1/2,故m-1/2>0,故
t=2^x+4^y=m+2+1/(m-1/2)=(m-1/2)+1/(m-1/2)+5/2≥2√[(m-1/2)*1/(m-1/2)+]+5/2=9/2
当且仅当(m-1/2)=1/(m-1/2),即2^x=m=3/2(m=-1/2舍去)时,2^x+4^y取最小值9/2.
此时,x=log(2)(3/2),y=log(4)(3)
已知实数x,y满足x+y=3,则2的x次方+2的y次方的最小值
已知x+2y=1,则2的x次方加4的y次方的最小值是多少?
x的4次方+x的2次方y的2次方+y的4次方
x+2y=1,2的x次方+4的y次方,最小值
已知x与y满足2(x-y)-(x-3y)=1/2,求4X次方·2y次方·2y次方-2 2x+1次方·4y次方的值.
若实数x,y满足x+2y-2=0,则3Λx(x次方)+9Λy(y次方)的最小值为...
已知正实数xyz满足3的x次方=4的y次方=6的z次方,求证:1/z-1/x=1/2y
当实数x,y满足x+3y-2=0时,函数u=2的x次方加8的y次方+2的最小值是多少
已知实数X、y满足x的2次方-2x+4y=5求x+2y最大值
已知实数x,y满足x+y=1,x的平方+y的平方=2,求x的六次方+y的六次方的值.
已知x+3y-2=0,则3的n次方+27的y次方+1的最小值是多少?
已知2的x次方=4的y+1次方,9的2y次方=3的x+2次方,求x-y的值