搜搜做题作业网用反证法如何证明5^(1/2)就是"根五"是有理数
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 04:54:48
用反证法如何证明5^(1/2)就是"根五"是有理数
为了叙述方便,令根号5=x,则x^2=5
用反证法,
假设x是有理数,则x=p/q,其中p,q是互质的有理整数
p=x*q
p^2=x^2*q^2=5*q^2
所以p是5的倍数,
所以可令p=5*p'
将p=5*p'代入p^2=5*q^2得
25*p'^2=5*q^2
q^2=5*p'^2
所以q也是5的倍数,而p是5的倍数
所以p,q是不互质
这与假设冲突,所以假设不成立
因此根号5是无理数
用反证法,
假设x是有理数,则x=p/q,其中p,q是互质的有理整数
p=x*q
p^2=x^2*q^2=5*q^2
所以p是5的倍数,
所以可令p=5*p'
将p=5*p'代入p^2=5*q^2得
25*p'^2=5*q^2
q^2=5*p'^2
所以q也是5的倍数,而p是5的倍数
所以p,q是不互质
这与假设冲突,所以假设不成立
因此根号5是无理数