三角形ABC中,∠BAC=120°,以AB、AC为一直角边向形外作等腰直角三角形ABD与ACE（两个三角形中A是直角顶点

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/14 07:06:59

三角形ABC中,∠BAC=120°,以AB、AC为一直角边向形外作等腰直角三角形ABD与ACE（两个三角形中A是直角顶点
BD的中点为P,斜边CE的中点为Q,BC中点为M.求证：PM=QM,∠PMQ=90°

连接DC,BE,
∵ BD的中点为P,斜边CE的中点为Q,BC中点为M.
∴ PM平行∥∥= 1/2DC,∠BMP=∠BCD=∠BCA+∠ACD
QM∥＝1/2BE,,∠CMQ=∠CBE=∠CBA+∠ABE,
△△在△ABE和△ADC中,
∵ AB=AD,AE=AC,角BAE=∠DAC=90°+∠DAE=90°+180°-120°=150°,
∴△ABE全等于△ADC.
∴BE=DC,∴ PM=QM,∴ ∠ABE=∠ADC,∠ ABE+∠ AEB=180°-150°=30°,
∴ ∠ BMP+∠ CMQ=∠BCA+∠ACD+∠CBA+∠ABE=(∠BCA+∠CBA)+(∠ACD+∠ABE)
=180°-∠BAC+∠ ABE+∠ AEB=180°-120°+30°=90°
∴ ∠PMQ=180°-(∠ BMP+∠ CMQ)=90°
再问：求证：,∠PMQ=90°
再答： ∵∠ BMP+∠ CMQ+∠PMQ=180°，平角，以上求证基本满足解题。在求证：,∠PMQ=90°时，可以更简单一点，即连接BE时交AD于F,交CD于G，交PM于H, 求证△ABF相似于△GDF(∵∠ABE=∠ADC, ∠BFA=∠DFG对顶角,)， ∴ ∠DGF=∠BAF=90° , ∵PM平行∥= 1/2DC ∴ ∠DGF=∠BHP=90° ,∴ ∠BHM=∠BHP=90° ,, 又∵ QM∥＝1/2BE ∴ ∠PMQ=∠BHM=90° (内错角相等), 这样减少加减运算，