搜搜做题作业网求解一道高一竞赛平面几何题(巨难,
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/28 04:12:09
求解一道高一竞赛平面几何题(巨难,
如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,∠DCO的平分线CQ交线段OD于Q,连接AQ,作OM⊥BC于N,ON⊥AQ于N,且P为AB边的中点,OA=OB*OD/(OC+CD).
求证：1、A,B,C,D四点共圆； 2、PM=PN
如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,∠DCO的平分线CQ交线段OD于Q,连接AQ,作OM⊥BC于N,ON⊥AQ于N,且P为AB边的中点,OA=OB*OD/(OC+CD).
求证：1、A,B,C,D四点共圆； 2、PM=PN
第一问：因为CQ平分角DCO,所以OQ等于OC*OD/(OC+CD),故OQ*OB=(OA*(OC+CD)/OD)*(OC*OD/(OC+CD))=OA*OC所以△COQ∽△BOA.故∠OCQ=∠OBA.故ABCD四点共圆.
第二问取AO,BO中点E,F.则由中位线性质,PE=0.5BO,PF=0.5AO,∠OEP=2π-∠AOB=∠OFP.又因为NE,MF分别为RT△ANE、RT△BNF的斜边上中线,所以NE=0.5AO=PF,ME=0.5BO=PE,因为RT△ANE、RT△BNF相似,所以又有∠NEO=∠MFO,则∠NEP=∠MFP,故△NEP≌△PFM,故PM=PN.
第二问取AO,BO中点E,F.则由中位线性质,PE=0.5BO,PF=0.5AO,∠OEP=2π-∠AOB=∠OFP.又因为NE,MF分别为RT△ANE、RT△BNF的斜边上中线,所以NE=0.5AO=PF,ME=0.5BO=PE,因为RT△ANE、RT△BNF相似,所以又有∠NEO=∠MFO,则∠NEP=∠MFP,故△NEP≌△PFM,故PM=PN.