求矩阵特征值和特征向量,

求矩阵特征值和特征向量,
A=1/4 |2 1 1 |
| 1 2 1 |
| 1 1 2 |

A=
1/2 1/4 1/4
1/4 1/2 1/4
1/4 1/4 1/2
解方程|A-xE|=0,化简得到
(x-1)(x-1/4)(x-1/4)=0
所以特征值是1,1/4,1/4
x=1对应的特征向量：
A-1E=
-1/2 1/4 1/4
1/4 -1/2 1/4
1/4 1/4 -1/2
求(A-1E)x=0的基础解系为[1 1 1]',所以x=1的特征向量为a1=[1 1 1]'
x=1/4对应的特征向量：
A-(1/4)E=
1/4 1/4 1/4
1/4 1/4 1/4
1/4 1/4 1/4
求[A-(1/4)E]x=0的基础解系为[-1 0 1]'和[-1 1 0]',所以x=1/4的特征向量为a2=[-1 0 1]'和a3=[-1 1 0]'
对角化:
P=[a1 a2 a3]=
1 -1 -1
1 0 1
1 1 0
则
P^(-1) * A * P =
1 0 0
0 1/4 0
0 0 1/4
再问： 解方程|xE-A|=0，化简得到 (x-1)(x-1/4)(x-1/4)=0 就是这步，怎么化简的？谢谢你打了这么多。 因为自学，所以只会点笨方法。 我都给乘开了，(x-1/2)^3+1/32-(x-1/2)3/16=0 但是又不能变成相乘的模式了。eg:(x-1)(x-1/4)(x-1/4)=0 这其中，怎么做，才算是对的呢?
再答： |A-xE|=0的化简如下：（当然你写的|xE-A|=0也是可以的） |A-xE|= 1/2-x 1/4 1/4 1/4 1/2-x 1/4 1/4 1/4 1/2-x 这个行列式很特殊，每列的和是相同的，所以把第二、第三行都加到第一行上： = 1-x 1-x 1-x 1/4 1/2-x 1/4 1/4 1/4 1/2-x 这样第一行三个数是一样的，就可以提出一个(1-x): = (1-x)* 1 1 1 1/4 1/2-x 1/4 1/4 1/4 1/2-x 然后再把第二列减去第一列，第三列减去第一列，为的是把第一行后两个1变成0： = (1-x)* 1 0 0 1/4 1/4-x 0 1/4 0 1/4-x 到此为止第一行只有一个非零元素，可以用行列式的“按第一行元素展开”来化简。就是原行列式的值等于 a11*(a11的代数余子式) + a12*(a12的代数余子式)+...： = (1-x) * 1 * 1/4-x 0 0 1/4-x 至此就剩下一个二阶行列式，而且只有主对角线有值，所以很简单，这个二阶行列式就是(1/4-x)(1/4-x),那么再乘上前面的(1-x)，最后特征根就是1, 1/4, 1/4 ******************************************* 自学是挺费劲的，如果是自学的话，上述化简你可能会觉得太巧妙了，想都想不到。但是题目做多了就感觉稀松平常了，所以我之前的解题步骤里都没写，认为行列式化简是基本功。