搜搜做题作业网-----------一道高中涵数的题,高手进来帮看看
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 07:41:30
-----------一道高中涵数的题,高手进来帮看看
是否存在函数 f(n),将所有的 自然数集 映为自身,
且对每个n>1,f(n)=f(f(n-1)) + f(f(n+1))都成立.
要有推理过程,
1楼 不要解题方法，要有具体的推理过程。以及最终结论。
2楼 f(n)=n/2好像并不是把所有的 自然数集 映为自身，如：f(3)不是自然数
我再好好看看，如果题意真的如你所述就给分，但是我先要确认一下。
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是否存在函数 f(n),将所有的 自然数集 映为自身,
且对每个n>1,f(n)=f(f(n-1)) + f(f(n+1))都成立.
要有推理过程,
1楼 不要解题方法，要有具体的推理过程。以及最终结论。
2楼 f(n)=n/2好像并不是把所有的 自然数集 映为自身，如：f(3)不是自然数
我再好好看看，如果题意真的如你所述就给分，但是我先要确认一下。
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因为n=[(n-1)+(n+1)]/2,
既原题是要求f([(n-1)+(n+1)]/2)=f(f(n-1)) + f(f(n+1))恒成立,
由于线性函数具有以下性质f(x+y)=f(x)+f(y),假设f(n)为线性函数,
则f([(n-1)+(n+1)]/2)=f((n-1)/2)+f((n+1)/2)
显然当f(n)=n/2,同时满足题目要求和假设为其中的一个解.所以必然存在一个或一个以上的函数满足题目要求.
"将所有的 自然数集 映为自身"只要求对于任意自然数k都有,k=f(x0)(x0属于自然数),也就是说以f(x)为元数的集合,包含自然数集合即满足条件.因此f(3)不是自然数与题设没有矛盾.
既原题是要求f([(n-1)+(n+1)]/2)=f(f(n-1)) + f(f(n+1))恒成立,
由于线性函数具有以下性质f(x+y)=f(x)+f(y),假设f(n)为线性函数,
则f([(n-1)+(n+1)]/2)=f((n-1)/2)+f((n+1)/2)
显然当f(n)=n/2,同时满足题目要求和假设为其中的一个解.所以必然存在一个或一个以上的函数满足题目要求.
"将所有的 自然数集 映为自身"只要求对于任意自然数k都有,k=f(x0)(x0属于自然数),也就是说以f(x)为元数的集合,包含自然数集合即满足条件.因此f(3)不是自然数与题设没有矛盾.