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一道很弱智的初中奥数题

来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/29 13:31:58
一道很弱智的初中奥数题
我们知道,正三角形ABC,G是三角形ABC的重心,则角BGC=120度.请你证一下它的逆命题：已知三角形ABC,角A=60度,G是三角形ABC的重心,角BGC=120度,求证三角形ABC是正三角形.
今晚要交此题,若答案正确,再追加50分.
一道很弱智的初中奥数题
设a=BC,b=AC,c=AB
延长CG交AB于D,延长BG交AC于E,显然D、E分别为AB、AC中点,
容易证明BG=2BE/3,CG=2CD/3
BE²=AB²+AE²-2cos∠A*AB*AE=c²+(b/2)²-2*1/2*c*b/2=(b²-2bc+4c²)/4
所以BG²=4/9*BE²=(b²-2bc+4c²)/9
同理可得CG²=(4b²-2bc+c²)/9
而BC²=AB²+AC²-2*cos∠A*AB*AC=b²-bc+c²
cos∠BGC=cos120°=-1/2
BC²=BG²+CG²-2cos∠BGC*BG*CG=BG²+CG²+BG*CG
b²-bc+c²=(b²-2bc+4c²)/9+(4b²-2bc+c²)/9+1/9*√(b²-2bc+4c²)*√(4b²-2bc+c²)
9(b²-bc+c²)-(b²-2bc+4c²)-(4b²-2bc+c²)=√(b²-2bc+4c²)*√(4b²-2bc+c²)
4b²-5bc+4c²=√(b²-2bc+4c²)*√(4b²-2bc+c²)
(4b²-5bc+4c²)²=(b²-2bc+4c²)*(4b²-2bc+c²)
16b^4+25b²c²+16c^4-40b³c-40bc³+32b²c²=4b^4-2b³c+b²c²-8b³c+4b²c²-2bc³+16b²c²-8bc³+4c^4
16b^4+25b²c²+16c^4-40b³c-40bc³+32b²c²==4b^4-10b³c+21b²c²-10bc³+4c^4
12b^4-30b³c+36b²c²-30b³c+12c^4=0
2b^4-5b³c+6b²c²-5b³c+2c^4=0
2(b^4-2bc+c^4)-5bc(b²-2bc+c²)=0
2(b²-c²)²-5bc(b-c)²=0
2(b+c)²(b-c)²-5bc(b-c)²=0
(b-c)²(2b²+4bc+2c²-5bc)=0
(b-c)²(2b²+bc+2c²)=0
2b²+bc+2c²=(b+c)²/2+3(b²+c²)/2>0
所以(b-c)²=0
所以b=c
又∠A=60°
所以△ABC为正三角形
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