同济线性代数第五版113页例1的疑问

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/07 13:51:32

同济线性代数第五版113页例1的疑问
已知3维向量空间r3中两个向量
a1=(1 1 1)T a2=(1 -2 1)T正交
试求非零向量a3使a1,a2.a3正交
我这样做,
记a3=(a31 a32 a33)T
记A=(a1 a2 a3)
a1 a2 a3无关
即r(A)=3
即|A|不等于0
可得a31不等于a33
那么(c1 c2 c3) c1,c2,c3∈R,c1≠c3就是所求a3
这个做法哪儿错了?

你没有完全利用a3与a1,a2正交这个条件,a1,a2,a3正交时,|A|≠0是对的.反过来,|A|≠0就可以保证a3与a1,a2正交?只能说明a1,a2,a3线性无关.
应该这样考虑：a3与a1,a2正交,则a1^T a3=0,a2^T a3=0,所以a3是方程组(a1^T,a2^T)x=0的解.

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