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已知x,y满足2x−y≥2x+y≤2y≥a(x−1),且z=x+y能取到最小值,则实数a的取值范围是(  )

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 10:52:29
已知x,y满足
2x−y≥2
x+y≤2
y≥a(x−1)
已知x,y满足2x−y≥2x+y≤2y≥a(x−1),且z=x+y能取到最小值,则实数a的取值范围是(  )
设直线l:z=x+y,可得的直线l的斜率为-1,
观察直线l在y轴上的截距变化,可得当直线l越向下平移,l在y轴上的截距越小,
相应地目标函数z也变小.
不等式组

2x−y≥2
x+y≤2表示的平面区域,在直线2x-y=2的下方,
且在直线x+y=2的下方.
∵直线y=a(x-1)表示经过点A(1,0)且斜率为a的直线,
∴不等式y≥a(x-1)表示的平面区域,在直线y=a(x-1)的上方.
由此可得:当直线y=a(x-1)的斜率大于-1,而小于直线2x-y=2的斜率时,
不等式组

2x−y≥2
x+y≤2
y≥a(x−1)表示的平面区域为如图的△ABC及其内部,
此时目标函数z=x+y在点A(1,0)处取得最小值为1,a的取值范围是-1<a<2;
又∵当a=-1时,题中不等式组表示的平面区域为斜率等于-1的两条平行线间、且在直线2x-y=2的下方的部分,
z=x+y也可在点A(1,0)处取得最小值1,
∴实数a的取值范围是-1≤a<2.
故选:D