为什么某点二阶导存在能够说明一阶导在该点领域连续,而一阶导数存在,不能说明在该点领域原函数连续?

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 08:37:46

为什么某点二阶导存在能够说明一阶导在该点领域连续,而一阶导数存在,不能说明在该点领域原函数连续?
我看到很多解释：因为二阶导的定义用到一阶导,所以一阶导在该点连续.那么同样的一阶导在该点存在,为什么就不能说明原函数在该点领域连续呢?例子什么的我都明白,就是搞不清这个逻辑,
如果一阶导数存在,不能说明在该点领域原函数连续那么是不是，二阶导存在也不能够说明一阶导在该点领域连续呢？

我个人认为你有道理.
设f''(x0)=lim[f'(x)-f'(x0)]/(x-x0)存在,于是lim[f'(x)-f'(x0)]=0
上式仅仅说明f'(x)在x=0连续,当然可以说明f(x)在x=0的某个邻域连续.但f‘(x)在x=0的某个邻域连续的理由不充分.
这样一来：一阶导数存在,不能说明在该点邻域原函数连续
我认为在某点二阶导存在,那么一阶导在该点领域连续有问题.
暂且这样认为,我抽时间仔细想想.
再问：是的，我也这么认为，而且我还特意买了两本参考书，书上并没有说f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说f‘(x)在邻域存在，他还提到如果在某点三阶可导，运用罗比达法则的时候一阶、二阶可以三阶就要用定义，那么如果仅仅只是说f‘(x)在邻域存在，而罗比达不是要求领域是可导的吗？如果邻域可导不就说邻域连续吗？这又跟f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说f‘(x)在邻域存在违背了。。。啊，纠结啊，谁来救救我！
再答：我想了下，前面我的回答是对的，即：在某点二阶导存在，不能确定一阶导在该点领邻域连续。但你举的例子不完全说明问题：设f(x)在某点三阶可导,对于具体的函数，可以求出一阶、二阶并可判断是否连续。但对于涉及抽象的函数，用一次罗比达法则没问题，但用两次罗比达法则就有点问题。
再问：我今天也好好研究了一下，我觉得f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说明f‘(x)在邻域导数是存在的，并不能证明连续。洛必达也可以用两次，因为求f'（x）可以用一次,然后可以再用一次求f'‘（x），因为f(x)领域可导与f'(x)领域也是可导的。

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