行列式中,abc为互异实数,证明|1 1 1||a b c||a^3 b^3 c^3|=0的充要条件是a+b+c=0

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/14 05:59:49

证明: 等式左边行列式记为D.
考虑Vandermonde行列式D1
1 1 1 1
a b c x
a^2 b^2 c^2 x^2
a^3 b^3 c^3 x^3
= (b-a)(c-a)(c-b)(x-a)(x-b)(x-c).
直接计算其x^2的系数为: (b-a)(c-a)(c-b)(-a-b-c).
另一方面, 观察D1, 其x^2的系数恰为 A34=(-1)^(3+4)M34 = -D.
[考虑D1按第4列展开]
所以 D = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)
由a,b,c为互异实数, 所以D=0的充要条件是a+b+c=0.
[注: 行列式D可用性质化三角形行列式,这里提供另一方法计算它.
若是高阶, 此方法更显有用]

设a,b,c是互异的实数,则行列式 1 1 1 a b c a^3 b^3 c^3 =0 的充要条件? 设a.b.c为实数,满足a+b+c=0,abc=1,证明;a.b.c.中有一个大于3/2. 已知a,b,c为实数,a+b+c=0,abc=1,用反证法证明a,b,c中至少有一个大于3/2. 高中不等式证明已知abc=1,且a,b,c为实数,证明:1/a+1/b+1/c+3/(a+b+c)>=4 已知a、b、c都属正实数,且abc=1,证明1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(b+a) a/b+b/c+c/a+3（abc）^（1/3）/a+b+c>=4证明上面不等式成立,其中a.b.c都是正实数. 证明ax^2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0 若a,b,c为实数,且a+b+c=0,abc=1；证明a,b,c中必有一个大于1.5. 已知a,b,c为实数,且a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c三数中必有一个大于3/2. 已知a,b,c为实数,且a+b+c=0 ,abc=1,求证:a,b,c三数中必有一个大于3/2. 已知a,b,c都是实数,且a+b+c=0,abc=1,求证a,b,c中有且只有一个数大于3/2 已知a×a+b×b+c×c=1,a×a（b+c）+b×b（c+a）+c×c（a+b）+3abc=0,求a+b+c的值