已知等差数列{an}的首项a1＞0,公差d＞0,前n项和为Sn,设m,n,p∈N*,且m+n=2p （1）求证：Sn+S

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/23 19:13:50

已知等差数列{an}的首项a1＞0,公差d＞0,前n项和为Sn,设m,n,p∈N*,且m+n=2p （1）求证：Sn+Sm≥2Sp；
（2）求证：Sn•Sm≤（Sp）2；
（3）若S1005=1,求证：∑1/Sn≥ 2009 ∑上方为2009 下方为n=1

（1）由等差数列前n项和公式可得Sn=d2
n2+(a1-d
2
)n,代入Sn+Sm,利用m+n=2p可证
（2）由等差数列前n项和公式可得Sn=d
2
n2+(a1-d
2
)n,代入SnSm,利用m+n=2p可证
（3）由（2）可得Sp
Sm
≥Sn
Sp
,从而有2009

n=1
1
Sn
=S1005
S1
+S1005
S2
+S1005
S2009
=S2009
S1005
+S2008
S1005
+S1
S1005
,再利用（1）的结论可证．证明：（1）由等差数列前n项和公式可得Sn=d 2 n2+(a1-d 2 )n,∴Sn+Sm=d 2 n2+(a1-d 2 )n+ d 2 m2+(a1-d 2 )m=d 2 (n2+m2)+( m+n)a1-d 2 (m+n)≥2Sp（2）SnSm=[d 2 n2+(a1-d 2 )n][d 2 m2+(a1-d 2 )m]≤d2 4 p2+d 2 (a1-d 2 )p3+(a1-d 2 )2p2,∴SnSm≤（Sp）2(3)2009 n=1 1 Sn =S1005 S1 +S1005 S2 +S1005 S2009 =S2009 S1005 +S2008 S1005 +S1 S1005 ≥2009
点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式及不等式的基本性质,考查等价转化思想,属于中档题．

已知非负等差数列{an}的公差d不为0,前n项和为Sn,设m,n,p∈N*,且m+n=2p （1）求证：1/Sn+1/S 已知{(an}是等差数列,d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作Sn,设集合A=｛〔an,Sn/n〕︱n∈ 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn+2-Sn=36，则n=（　　）已知数列an的首项a1=5,前n项和为Sn,且S(n+1)=2Sn+n+5（n∈N*）,求数列｛an｝的前n项和Sn,设设数列[an}的前n项和为Sn,a1=a ,a2=p(p＞0）,Sn=n(an-a1)/2 设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=(Sn/n)+2(n-1)(n∈N*) 求证:数列an为等差数列, 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn*Sn-1=0,a1=1/2.求证：{1/Sn}是等差数列已知等差数列{an}的公差d＞0，设{an}的前n项和为Sn，a1=1，S2•S3=36．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且a1不等于0,求（n*an)/Sn的极限、（Sn+Sn+1）/(Sn+Sn-1) 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中，bn＞0（n∈N*）且设Sn是等差数列｛an｝的前n项和,求证：若正整数m,n,p成等差数列,则Sm/m,Sn/n,Sp/p也成等差数列. 已知数列{an}的首项a1=3,前n项和为Sn,且S（n+1）=3Sn+2n(n∈N)