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求证(b,c,d)a+(c,a,d)b+(a,b,d)c+(b,a,c)d=0 a,b,c,d皆为向量>

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 23:49:21
求证(b,c,d)a+(c,a,d)b+(a,b,d)c+(b,a,c)d=0 a,b,c,d皆为向量>
求证(b,c,d)a+(c,a,d)b+(a,b,d)c+(b,a,c)d=0 a,b,c,d皆为向量>
你说的(b,c,d)是混合积,即先做叉乘,再做点乘
混合积的性质是:三个向量轮换次序,混合积不变.比如(b,c,d)=(d,b,c)
而其中两个向量交换次序,混合积变号,比如(b,c,d)=-(c,b,d)
所以(b,c,d)a+(c,a,d)b+(a,b,d)c+(b,a,c)d
=(b,c,d)a-(a,c,d)b+(d,a,b)c-(c,a,b)d
=b·(c×d)·a-a·(c×d)·b+d·(a×b)·c-c·(a×b)·d
如果c×d=a×b=0 那么显然上式等于0
如果c×d与a×b不为0
则用原向量与c×d做点乘得到:
b·(c×d)·a·(c×d)-a·(c×d)·b·(c×d)+d·(a×b)·c·(c×d)-c·(a×b)·d·(c×d)=b·(c×d)·a·(c×d)-a·(c×d)·b·(c×d)=0
同理可得出原式和a×b、a×d、b×d的内积均为0
而c×d、a×b、a×d、b×d不会都共面
所以原向量=0