请证明平面直角坐标系中点.面距离公式

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/20 23:00:55

请证明平面直角坐标系中点.面距离公式

设面：
x/A+y/B+z/C=1
点(X0,Y0,Z0)
则过点与面平行的面为:
x/A+y/B+z/C=X0/A+Y0/B+Z0/C
过原点与面平行的面为
x/A+y/B+z/C=0
又原点到面的距离为h
h*S=A*B*C/2
S=1/4√(2(A^2+B^2)(A^2+C^2)+2(A^2+B^2)(B^2+C^2)+2(A^2+C^2)(B^2+C^2)-A^4-B^4-C^4)=1/2√(A^2B^2+A^2C^2+B^2C^2)
(海伦公式)
h=A*B*C/√(A^2B^2+A^2C^2+B^2C^2)
点.面距离=|h/1*(X0/A+Y0/B+Z0/C-1)|
如面的形式为
ax+by+cz=1
则点.面距离公式化简为
|ax0+by0+cz0-1|/√(a^2+b^2+c^2)

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