A>B是sinA>sinB充要条件, 如何证明

1.举特例令A=B=45度,不成立2.正弦和余弦表需是用计算机计算,如下公式编程计算sinX=X-(3的阶乘)X^3+(5的阶乘)X^5-(7的阶乘)X^7+.(-1)^(n+1)*(2n-1的阶乘)

前提一个公式：(sina)^2+(cosa)^2=1,(sinb)^2+(cosb)^2=1对于sina*sinb=1,由于sin函数的值域[-1,1],则显然sina=sinb=1或sina=sin

充分条件,即a=b能推出sina=sinb,但sina=sinb确不能推出a=b

（Ⅰ）△ABC中，由已知条件可得sin2A-sin2B=2sinAsinC-sin2C，再由正弦定理可得a2+c2-b2=2ac，∴cosB=a2+c2−b22ac=22，∴B=π4．（Ⅱ）∵B=π4

证明:要证sin(a+b)sin(a-b)=(sina+sinb)(sina-sinb)只须证(sina*cosb+cosa*sinb)(sina*cosb-cosa*sinb)=(sina+sinb

打开平方得：sin^2A+sin^2B-sin^C=sinA*sinB正弦定理sinA=a/2R其它也一样a2/4R2+b2/4R2-c2/4R2=ab/4R2a2+b2-c2=ab余弦定理a2+b2

不妨设A=0那么a=(1,0),b=(1/2,SQR(3)/2)（用SQR代表开平方）c=2a+b=(5/2,SQR(3)/2)|c|=SQR(5^2+3)/2=SQR(7)（用^2代表平方）d=2b

sinb=sin[(a+b)-a]=sin(a+b)cosa-cos(a+b)sina=sin(a+b)cosa-sinb/sina*sina=sin(a+b)cosa-sinb2sinb=sin(a

既非充分又非要条件；因为：三角形ABC,那么他们最多是钝角,由正弦函数的曲线可以知道在区间（0,pi/2）单调递增,在区间（pi/2,pi）单调递减,所以是既非充分又非必要条件,举个例子：a=60°,

由正弦定理易得(sinB+sinA)/sinA=(b+a)/a因此sinBsinA=sin^2B-sin^2A-----（1）cos(A-B)+cos((180-(A+B))=1-(1-2sin^2C

（sinA+sinB）（sinA-sinB）＝sinC（根号2*sinA-sinC）由正弦定理得到:(a+b)(a-b)=c(根号2a-c)a^2-b^2=根号2ac-c^2又有cosB=(a^2+c

第一部分

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)*cos((A-B)/2)=2sin(1/2)*cos((A-B)/2)当A=B时取得最大值M=2sin(1/2)sinA*sinB=1/2*(cos(A

sinA+sinB=2[sin(A+B)/2]*[cos(A-B)/2]=2[sin60]*[cos(A-B)/2]=根号3*[cos(A-B)/2]当A=B=60时原式有最大值根号3

原式=sin²a+2sinasinb+sin²b+cos²a+2cosacosb+cos²b=(sin²a+cos²a)+2(cosacos

2cos(a+b)=exp(i(a+b))+exp(-i(a+b))=exp(ia)*exp(ib)+exp(-ia)*exp(-ib)exp(ia)*exp(ib)(cos(a)+isin(a))(

由格拉郎日定理得sinb-sina=cosc(b-a),(cosc是sinx在c点的导数值)其中c介于a,b之间,对上式取绝对值得|sinb-sina|=|cosc||b-a||再由|cosc|≤1得

这里要用到三角函数中和差化积的公式：sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]=2sin(C/2)sin[(A-B)/2]sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]co

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA不等用个数试试就知道不等了A=150°B=30°时前者为0,后者为（根号3）/2

设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得，sinB=b2R，sinA=a2R，sinC=c2R，所以a（sinB-sinC）+b（sinC-sinA）+c（sinA-sinB）=a（b2R−c2R）