在ABC中,SinC=CosA CosB,求证:A.B中必有一个直角

（1）方法一根据正弦定理,原式可变形为：c(cosA+cosB)=a+b.①∵根据任意三角形射影定理（又称“第一余弦定理”）：a＝b·cosC＋c·cosBb＝c·cosA＋a·cosC∴a+b=c(

由(sinA+sinB)/sinC=(a+b)/c=cosA+cosB=(b^2+c^2-a^2)/2bc+(a^2+c^2-b^2)/2ac得：a^3+b^3+a^2b+ab^2-ac^2-bc^2

已知cosA=12/13,cosB=8/17,得到sinA=5/13,sinB=15/17sinC=sin(180-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=(5/13)(8/1

（1）根据正弦定理，原式可变形为：c（cosA+cosB）=a+b①，∵根据任意三角形射影定理得：a=b•cosC+c•cosB，b=c•cosA+a•cosC，∴a+b=c（cosA+cosB）+c

根据正弦定理,原式可变形为：c(cosA+cosB)=a+b.①∵根据任意三角形射影定理（又称“第一余弦定理”）：a＝b·cosC＋c·cosBb＝c·cosA＋a·cosC∴a+b=c(cosA+c

由正弦定理知a:b:c=2:3:4设a=2kb=3kc=4k由余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(9k²+16k²-4k²

a/sinA=2r∴sinA=a/2r∴原比例可转化为：a：b：c=4：5：6设a=4k,b=5k,c=6kcosA=[（25+36-16）/（2*5*6）]k=(3/4)k同理,cosB=(9/16

由正弦定理知：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入CosA/a=CosB/b=SinC/c得：CosA/(2RsinA)=CosB/(2RsinB)=SinC/(2RsinC)则

cosA＋cosB＝sinC=sin(A+B)2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]=2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]{cos[(A-B)/2]-

(cosA-2cosC)/cosB=(2sinC-sinA)/sinBsinBcosA-2sinBcosC=2cosBsinC-cosBsinA2sinBcosC+2cosBsinC=sinBcosA

因为有：sinC=sin(A+B)所以原式可以化简为：2*sin[(A+B)/2]*cos[(A+B)/2]*2*cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]=2*sin[(A+B)/2]*co

4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)=4cos(A/2)cos(B/2)cos(pi/2-A/2-B/2)=4cos(A/2)cos(B/2)sin(A/2+B/2)=4cos(A/2)

如果sinA:sinB:sinC=5:12:13则边长a:b:c=5:12:13而5和12和13是勾股数所以三角形ABC是直角三角形,且角C是直角所以cosA=12/13

在⊿ABC中,由cosA=3/5,sinB=5/13,可知,sinA=4/5,cosB=±12/13.sinC=sin[180º-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAs

解由sinC=（sinA+sinB）／（cosA+cosB）即sinA+sinB=sinCcosA+sinCcosB即sin（B+C)+sin(A+C)=sinCcosA+sinCcosB即sinBc

∵sinB=sin[180°-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，又∵sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB），∴sinA+sinAcosC+cosAsin

(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinCcosAsinC+2sinCcosC=cosAsinB+2sinBcosBcosAsinC+sin2C=cosAsinB+sin2

设AB=c,BC=a,AC=b∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠0

由sinA:sinB:sinC=4:3:2可以求出三角形三条边的比例关系：a:b:c=4:3:2,利用余弦公式：cosA=(b²+c²-a²)/(2ab)=(9+4-16

cosB=5/13,则sinB=12/13>sinC,又sinB/sinC=b/c且sinB>sinC,则b>c,则B>C【这是控制cosC符号的关键】,即C为锐角,则：cosC=3/5,则：cosA